Question

如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设该矩形的长QM=ymm，宽MN=xmm．
（1）求证：y=；
（2）当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

（1）证明：∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴=，
∵QM=PN=y，MN=ED=x，AE=80-x，
∴=，
∴y=120-x．

（2）解：设矩形的面积为S，
则S=xy=x（120-x）=-x²+120x=-（x-40）²+2400．
∴当x=40时，y=60，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm²．
分析：（1）根据矩形的对边平行可以得到△APN∽△ABC，然后用相似三角形对应高的比等于相似比，可以证明y与x的关系．
（2）根据矩形面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与相似，（1）根据矩形的对边平行得到两相似三角形，然后用相似三角形对应高的比等于相似比进行证明．（2）利用矩形的面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数的性质，确定x，y的取值和面积的最大值．