题目内容
12．
“位似变化”是一种重要的几何变化，可以将图形放大或缩小，且与原图形相似．你能用位似变化解决下列问题吗？如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=6，有矩形EFGH的一边EF在边AC上，点H在斜边AC上，EF=2，HE=1．
（1）请你用圆规和无刻度直尺在Rt△ABC内作一个最大的矩形且与矩形EFGH位似．（不要求写作法，但必须保留作图痕迹）
（2）请证明你作图方法的正确性．
（3）求最大矩形与矩形EFGH的面积之比．
分析 （1）作出△ABC的中位线MN，MD即可解决问题．
（2）只要证明矩形的两边成比例即可．
（3）根据矩形的面积公式求出比值即可．
解答 解：（1）①作AC的垂直平分线，TK，交AB于M，交AC于N，
②过点M作MD⊥BC垂足为D，
四边形MNCD就是所求．
（2）∵MN⊥AC，MD⊥BC，
∴∠C=∠MNC=∠CDM=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∵AN=NC，MN∥BC，
∴AM=MB，
∵MD∥AC，
∴CD=DB，
∴MD=$\frac{1}{2}$AC=6，MN=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴MD：CD=2，EF：HE=2，
∴$\frac{EF}{MD}$=$\frac{HE}{CD}$，
∴矩形EFGH与矩形MNCD是位似图形．
（3）$\frac{{S}_{矩形MNCD}}{{S}_{矩形EFGH}}$=$\frac{3×6}{1×2}$=9．
点评 本题考查矩形的性质、位似变换、三角形中位线等知识，简单的关键是利用三角形中位线解决问题，理解位似变换的定义，属于中考常考题型．
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