Question

10．如图，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax²+$\frac{3}{4}$x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）；然后根据抛物线y=ax²+$\frac{3}{4}$x+c经过B、C两点，求出a\c的值是多少，即可求出抛物线的解析式．
（2）首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是（x，-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3），则点M的坐标是（x，-$\frac{3}{4}$x+3），求出EM的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出S_△ABC，进而判断出当△BEC面积最大时，点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），
∵抛物线y=ax²+$\frac{3}{4}$x+c经过B、C两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+\frac{3}{4}×4+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{c=3}\end{array}\right.$
∴y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3．

（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是（x，-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3），
则点M的坐标是（x，-$\frac{3}{4}$x+3），
∴EM=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3-（-$\frac{3}{4}$x+3）=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x，
∴S_△BEC=S_△BEM+S_△MEC
=$\frac{1}{2}EM•OC$
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{2}$x）×4
=-$\frac{3}{4}$x²+3x
=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3，
∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．

（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=-$\frac{3}{4}$x+3上，
∴点M的坐标是（2，$\frac{3}{2}$），
又∵点A的坐标是（-2，0），
∴AM=$\sqrt{{[2-（-2）]}^{2}{+（\frac{3}{2}-0）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{2}$，
∴AM所在的直线的斜率是：$\frac{\frac{3}{2}-0}{2-（-2）}=\frac{3}{8}$；
∵y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-{\frac{3}{8}x}^{2}+\frac{3}{4}x+3-m}{x-1}=\frac{3}{8}}\\{{（x-1）}^{2}{+（-{\frac{3}{8}x}^{2}+\frac{3}{4}x+3-m）}^{2}=\frac{73}{4}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-\frac{21}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-\frac{21}{8}}\end{array}\right.$，
∵x＜0，
∴点P的坐标是（-3，-$\frac{21}{8}$）．

②如图3，，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=-$\frac{3}{4}$x+3上，
∴点M的坐标是（2，$\frac{3}{2}$），
又∵点A的坐标是（-2，0），
∴AM=$\sqrt{{[2-（-2）]}^{2}{+（\frac{3}{2}-0）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{2}$，
∴AM所在的直线的斜率是：$\frac{\frac{3}{2}-0}{2-（-2）}=\frac{3}{8}$；
∵y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-{\frac{3}{8}x}^{2}+\frac{3}{4}x+3-m}{x-1}=\frac{3}{8}}\\{{（x-1）}^{2}{+（-{\frac{3}{8}x}^{2}+\frac{3}{4}x+3-m）}^{2}=\frac{73}{4}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-\frac{21}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-\frac{21}{8}}\end{array}\right.$，
∵x＞0，
∴点P的坐标是（5，-$\frac{21}{8}$）．

③如图4，，
由（2），可得点M的横坐标是2，
∵点M在直线y=-$\frac{3}{4}$x+3上，
∴点M的坐标是（2，$\frac{3}{2}$），
又∵点A的坐标是（-2，0），
∴AM=$\sqrt{{[2-（-2）]}^{2}{+（\frac{3}{2}-0）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{2}$，
∵y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-{\frac{3}{8}x}^{2}+\frac{3}{4}x+3-\frac{3}{2}}{x-2}=\frac{m-0}{1-（-2）}}\\{\frac{x+1}{2}=\frac{2-2}{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{15}{8}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标是（-1，$\frac{15}{8}$）．
综上，可得
在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是（-3，-$\frac{21}{8}$）、（5，-$\frac{21}{8}$）、（-1，$\frac{15}{8}$）．

点评 （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了函数解析式的求法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．
（3）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．