Question

如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是BC的中点，AE=CE，∠BAC=3∠CBD，BD=6

2

+6

6

，则AB=

12

．

Answer 1

分析：作DF⊥BC于F，根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形，求出∠CBD的度数，进而判断出△ACD是等边三角形，设AB=a，在Rt△BDF中利用直角三角形的性质求出DF的长，用a表示出CF的长，再根据勾股定理即可得出a的值，进而得出答案．

解答：解：作DF⊥BC于F，
∵AB=AC=AD，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵AE=CE，BE=EC，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠BAC=3∠CBD，
∴∠DBC=30°，∠ABD=15°，
∴∠BAD=180°-15°-15°=150°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD=60°，
∵AC=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴AB=AC=AD=CD，
设AB=a，则BC=

2

a，AC=AD=CD=a，
在Rt△BDF中，
∵∠DBF=30°，BD=6

2

+6

6

，
∴DF=

BD

2

=3

2

+3

6

，BF=BD•cos∠CBD=（6

2

+6

6

）×

3

2

=3

6

+9

2

，
∴CF=BF-BC=3

6

+9

2

-

2

a，
在Rt△CDF中，
CF²+DF²=CD²，即（3

6

+9

2

-

2

a）²+（3

2

+3

6

）²=a²，解得a=12．
故答案为：12．

点评：本题考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质及含30度角的直角三角形的性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出含30度角的直角三角形，根据直角三角形的性质进行解答．