Question

16．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC边上一点，若tan∠DBA=$\frac{1}{5}$，则tan∠CBD的值为（　　）

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 首先过点D作DE⊥AB于E，可得△ADE是等腰直角三角形，由tan∠DBA=$\frac{1}{5}$，易得BE=5DE=5AE，又由在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，可求得AE，AD的长，继而求得CD的长，然后求得tan∠CBD的值．

解答 解：过点D作DE⊥AB于E，
∵tan∠DBA=$\frac{1}{5}$=$\frac{DE}{BE}$，
∴BE=5DE，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴AE=DE，
∴BE=5AE，
又∵AC=6，
∴AB=6$\sqrt{2}$，
∴AE+BE=AE+5AE=6$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{2}$AE=2，
∴CD=AC-AD=6-2=4．
∵在Rt△BCD中，∠C=90°，CD=4，BC=AC=6，
∴tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$．
故选B．

点评 此题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．