Question

11．如图所示，已知：AB•EC=BC•DE．试说明：
（1）DF⊥AB；
（2）EF•DF=BF•AF．

Answer 1

分析 （1）由AB•EC=BC•DE，得到$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{CE}$，由于∠ACB=∠DCE=90°，推出△ABC∽△DCE，于是得到∠D=∠A，结论即可得出；
（2）根据∠A=∠D，∠AFE=∠DFB，得到△AFE∽△DFB，即可得到结论．

解答 证明：∵AB•EC=BC•DE，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{CE}$，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DCE，
∴∠D=∠A，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠D+∠B=90°，
∴∠DFB=90°，
∴DF⊥AB；

（2）∵∠A=∠D，∠AFE=∠DFB，
∴△AFE∽△DFB，
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{AF}{DF}$，
∴EF•DF=BF•AF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．