Question

平行四边形ABCD中，DE⊥BC于E，且DE=BC，EG=BE，过G作GF⊥AB于F，连接EF．
（1）若平行四边形ABCD的面积为9，∠FEB+∠A=90°，且tan∠FEB=

1

3

，求DG；
（2）求证：

2

FE-FB=FG．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,解直角三角形

专题：几何图形问题,证明题

分析：（1）根据面积求出BC和DE，解直角三角形求出CE，即可求出答案；
（2）过点E作EH⊥GF，EI⊥AB，求出正方形IFHE，推出FI=FH=EH，根据勾股定理和等腰直角三角形求出EF=

2

FI，即可得出答案．

解答：（1）解：∵DE=BC，平行四边形ABCD的面积为9，
∴BC=DE=3，∠C=∠A，
∵∠FEB+∠A=90°，且tan∠FEB=

1

3

，
∴

CE

DE

=

1

3

，
∴CE=1，
∴BE=EG=3-1=2，
∴DG=3-2=1；

（2）证明：过点E作EH⊥GF，EI⊥AB，
∵GF⊥AB，
∴∠I=∠IFG=∠FHE=90°，
∴四边形IFHE是矩形，
∴∠IEH=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∴∠IEB=∠HEG=90°-∠BEH，
在△EIB和△EHG中

∠IEB=∠HEG ∠I=∠EHG BE=EG

∴△EIB≌EHG（AAS），
∴EH=EI，BI=HG，
∴矩形EHFI是正方形，
∴EI=IF=FH=EH，
即EF=

2

FI，
∴

2

FE-FB=2FI-FB=FI+BI=FH+HG=FG，
即

2

FE-FB=FG．

点评：本题考查了正方形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度偏大．