Question

6．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC的中点，过D的直线（不与直线BC重合）与边AC交于一点E，过顶点B，C分别作直线DE的垂线BN，CM垂足分别为N，M，连结AM，CN．
（1）求证：BN=CM；
（2）当AM=CN时，求∠EDC的度数．

Answer 1

分析 （1）欲证明BN=CM，只要证明△BDN≌△CDM即可．
（2）由△AMC≌△CNB，推出△CDE是等边三角形即可解决问题．

解答 （1）证明：∵BN⊥DE，CM⊥DE，
∴∠BND=∠CMD=90°，
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
在△BDN和△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BND=∠CMD}\\{∠BDN=∠CDM}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDN≌△CDM，
∴BN=CM．

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
在△AMC和△CNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{AM=CN}\\{CM=BN}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△CNB，
∴∠ACM=∠CBN，
∵∴△BDN≌△CDM，
∴∠CBN=∠MCD，
∴∠MCE=∠MCD=30°，
∵CM⊥DE，
∴∠CME=∠CMD=90°，
∴∠CEM=∠CDM=60°，
∴∠EDC=60°．

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于基础题，中考常考题型．