Question

15．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），∠COA=60°，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF．
（1）直接写出点F的坐标；
（2）求线段OB的长及图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），可求得OA=2，又由将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，∠COA=60°，可得点F在x轴的负半轴上，且OF=2，继而求得点F的坐标；
（2）首先过点B作BG⊥x轴于点G，连接OE，OB，可求得∠AOB=∠EOF=30°，AB=OA=2，继而求得线段BG的长，则可求得扇形EOB与菱形OABC的面积，继而求得答案．

解答 解：（1）∵菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∵将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，∠COA=60°，
∴∠AOF=180°，OF=2，
即点F在x轴的负半轴上，
∴点F（-2，0）；

（2）过点B作BG⊥x轴于点G，连接OE，OB，
则∠AOB=∠EOF=30°，AB=OA=2，
∴∠BAG=60°，
∴∠ABG=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB=1，BG=$\sqrt{A{B}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴OB=2BG=2$\sqrt{3}$，
∵∠BOE=120°，
∴S_扇形=$\frac{120×π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=4π，S_菱形OABC=OA•BG=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_扇形-S_菱形OABC=4π-2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质、旋转的性质以及扇形的面积．注意准确作出辅助线是解此题的关键．