Question

9．有下列四个命题：
（1）函数y=$\frac{k}{x}$，当k＞0，x＜0时，y随着x的增大而减小．
（2）点P （x，y）的坐标满足x²+y²+2x-4y+5=0，若点P也在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，则k=-2．
（3）如果关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞a+1}\\{x＜2}\end{array}\right.$无解，则a＞1．
（4）如果二次函数y=x²+bx+c过（m，k）（m+6，k）两点，那么关于x的方程x²+bx+c=k的两根之差的绝对值为6．
真命题的序号是①②④．

Answer 1

分析 根据反比例函数的性质对（1）进行判断；先根据配方法和非负数的性质得到x=-1，y=2，再利用反比例函数图象上点的坐标特征对（2）进行判断；根据不等式组的解集的确定方法得到a+1≥2，然后解关于a的不等式则可对（3）进行判断；根据方程与函数的关系可得m和m+6为方程x²+bx+c=k的两根，则可对（4）进行判断．

解答 解：函数y=$\frac{k}{x}$，当k＞0，x＜0时，y随着x的增大而减小，所以（1）正确；
由x²+y²+2x-4y+5=0得（x+1）²+（y-2）²=0，则x=-1，y=2，所以P（-1，2），于是k=-1×2=-2，所以（2）正确；
如果关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞a+1}\\{x＜2}\end{array}\right.$无解，则a+1≥2，解得a≥1，所以（3）错误；
如果二次函数y=x²+bx+c过（m，k）（m+6，k）两点，则m和m+6为方程x²+bx+c=k的两根，所以关于x的方程x²+bx+c=k的两根之差的绝对值为6，所以（4）正确．
故答案为①②④．

点评 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．