Question

17．已知P为正方形ABCD的DC边上一点（不与D、C重合），以PC一边，在外侧作一个正方形PCEF，如图1，连接BP、DE．
（1）求证：△BPC≌△DEC；
（2）在图1中，BP与DE有怎样的数量和位置关系？说明理由；
（3）若正方形PCEF绕点C按顺时针方向旋转，在旋转过程中（2）的结论是否仍然成立？请以旋转如图2为例说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据SAS可证△BPC≌△DEC；
（2）BP=DE，BP⊥DE；延长BP交DE于点H，易证BP=DE，根据等量代换易证∠CDE+∠DPH=90°，则BP⊥DE；
（3）BP=DE，BP⊥DE；易证△BCP≌△DCE，则BP=DE，∠CBP=∠CDE，根据等量代换易证∠CDE+∠DHO=90°．

解答 解：（1）∵四边形ABCD和四边形CEFP是正方形，
∴BC=DC，CP=CE，∠BCD=∠ECP=90°
∴∠BCP=∠DCE，
在△BCP和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCE}\\{CP=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCE（SAS）；
（2）BP=DE，BP⊥DE；
延长BP交DE于点H，
∵△BCP≌△DCE，
∴BP=DE，∠CBP=∠CDE，
又∠CBP+∠BPC=90°，
∴∠CDE+∠DPH=90°，
∴∠DHP=90°，
∴BH⊥DE，
即BP⊥DE；
（3）BP=DE，BP⊥DE仍然成立，
在图（2）中证明如下
∵四边形ABCD、四边形CEFP都是正方形
∴BC=CD，CP=CE，∠BCD=∠ECP=90°
∴∠BCP=∠DCE，
在△BCP和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCE}\\{CP=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCE（SAS）；
∴BP=DE，∠CBP=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBP+∠BHC=90°
∴∠CDE+∠DHO=90°
∴∠DOH=90°
∴BP⊥DE．

点评 此题考查的知识点是正方形的性质，解答本题关键要充分利用正方形的性质和三角形全等的判定与性质．