Question

24、如图，△ABC是等边三角形，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为一边在点A的一侧作等边△CDE，连接AE，设DE与AC相交于点F
（1）写出图中所有的相似三角形；
（2）AE与BC的位置关系是什么，证明你的结论；
（3）若BC=6，CE=4，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）只要求写出相似的三角形，不必写出求证过程，根据相似三角形的判定定理，两个等边三角形的三个角分别相等，可推出△ABC∽△EDC，根据对应角相等推出△BDC∽△EFC∽△AFD，根据全等三角形的判定定理SAST推出△AEC≌△BDC，即可推出△BDC∽△AEC∽△EFC∽△AFD，还有一组是∠CAE=∠B=60°，再加上有一组对顶角，可以推出△AFE∽△DFC；（2）通过全等三角形的判定定理SAS得出△AEC≌△BDC，所以∠CAE=∠B=∠ACB=60°，根据内错角相等，两直线平行，判定AE∥BC；
（3）通过△ABC是等边三角形可以推出其三边相等，很很容易即可得出AC的长度．

解答：解：（1）△ABC∽△EDC，
△BDC∽△AEC∽△EFC∽△AFD，△AFE∽△DFC；

（2）AE∥BC，
证明：∵△ABC和△EDC都是等腰三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠B=60°，
∵∠ACB=60°，
∴AE∥BC；

（3）∵△ABC是等边三角形，BC=6，
∴AC=6．

点评：本题主要考查相似三角形的判定定理及有关性质的运用，关键在于根据图中两个等边三角形，找出相关的相等关系，然后结合已知条件，证明结论．