Question

已知梯形ABCD,   AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，问题：

（1）如图1，P为AB边上一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？

（2）如图2，P为AB边上任意一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？若果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由。

（3）P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，以PE、PC为边做平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？若果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由。

 

（图1）                              （图2）                              

Answer 1

（1）问题1：因为四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形。

所以∠DPC=90  ，因为AD=1，AB=2，BC=3.所以DC=2，设PB=x,则AP=2－x,在Rt△DPC中，PD²+PC²=DC²，即x²+3²+ (2－x)²+1=8，化简得x²－2x+3=0，

因为△=（－2）²－4×1×3=－8＜0，方程无解，所以对角线PQ与DC不可能相等

（２）问题2：如图1，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，所以点G是ＤＣ的中点，

作QH⊥BC，交BC的延长线于H。因为AD∥BC，所以∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+QCH，

因为PD∥CQ，所以∠PDC=∠DCQ，所以∠ADP=∠QCH，，又PD=CQ，所以Rt△ADP≌Rt△HCQ,所以AD=HC……２分。因为AD=1，BC=3，所以BH=4，所以当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。

（3）问题3：如图2，设PQ与DC相较于点G。

因为PE∥CQ，PD=DE,所以，所以G是DC上一定点。作QH⊥BC，交BC的延长线于H，同理可证∠ADP=∠QCH，所以Rt△ADP∽Rt△HCQ  即，所以CH=2. 所以BH=BC+CH=3+2=5，，所以当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5.

（注：各题如有其它解法，只要正确，均可参照给分）

           (图1)                                (图2)