题目内容

如图，在直角坐标系xoy中，一次函数 $数学公式$ 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）已知OC⊥AB于C，求C点坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1） $\text{[math]}$ ，令x=0，
得y=2，令y=0，得 $\text{[math]}$ ，
∴A点坐标是（ $\text{[math]}$ ，0），B点坐标是（0，2），
∴OA= $\text{[math]}$ ，OB=2，AB=4，
在△AOB中，∵∠AOB=90°，OC⊥AB于C，
∴AO²=AC•AB，
∴ $\text{[math]}$ ，
作CD⊥x轴于D，则∠ADC=∠AOB=90°，又∠CAD=∠BAO，
∴△ACD∽△ABO，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，AD= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴C点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（2）存在满足条件的点P，
$\text{[math]}$ ，0）， $\text{[math]}$ ，0）， $\text{[math]}$ ，0）， $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）因为一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，所以分别令x=0，y=0，可求得B、A的坐标，从而求出OA= $\text{[math]}$ ，OB=2，AB=4，因为OC⊥AB于C，利用射影定理可得AO²=AC•AB，所以 $\text{[math]}$ ，要求C点坐标，需作CD⊥x轴于D，证明△ACD∽△ABO，利用相似三角形对应边的比等于相似比即可得到 $\text{[math]}$ ，代入相关数据即可求出 $\text{[math]}$ ，AD= $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，从而求出C点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
（2）要在x轴上寻找点P，使△PAB为等腰三角形，需分情况讨论：
若PB=AB=4，则P和A关于y轴对称，所以有 $\text{[math]}$ ，0）；
若PA=PB，设P（x，0），利用两点间的距离公式可得（x+2 $\text{[math]}$ ）²=x²+（0-2）²，解之可得 $\text{[math]}$ ，0）；
因为A（-2 $\text{[math]}$ ，0），若PA=PB=4，则 $\text{[math]}$ ，0）， $\text{[math]}$ ，0）．
点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形、分类讨论来解决问题．