Question

12．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，对角线交于点O．将△BCD沿直线BD翻折，得到△BED．
（1）画出△BED，连接AE；
（2）求AE的长．

Answer 1

分析 （1）分别以B、D为圆心，以BC、DC长为半径画弧，两弧交于点E，连接即可；
（2）连接CE交BD于点F，由矩形的性质和勾股定理求出BD、OD，运用三角函数求出DF，得出OF，再证明OF为△ACE的中位线，得出AE=2OF即可．

解答 解：（1）画法：①以B为圆心，BC长为半径画弧，再以D为圆心，DC长为半径画弧，两弧交于点E；
②连接BE、DE，得△BED；
连接AE；如图1所示：
（2）连接CE交BD于点F；如图2所示：
∵将△BCD沿直线BD翻折，得到△BED，
∴BD垂直平分CE．
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=6，
∴∠BED=∠BCD=90°，DE=DC=AB=3，EB=BC=6．
∴$BD=\sqrt{B{E^2}+D{E^2}}=\sqrt{{6^2}+{3^2}}=3\sqrt{5}$；
∴$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}\sqrt{5}$．
∵$cos∠EDB=\frac{DF}{DE}=\frac{DE}{BD}$，
∴$\frac{DF}{3}=\frac{3}{{3\sqrt{5}}}$．
∴$DF=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．　　          
∴$OF=OD-DF=\frac{9}{10}\sqrt{5}$．
∵BD垂直平分CE，O为AC中点，
∴OF为△ACE的中位线，
∴AE=2OF=$\frac{9}{5}\sqrt{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、三角函数、三角形的中位线定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行作图和推理计算是解决问题的关键．