Question

【题目】已知：如图，平分，，垂足为，点在上，，分别与线段，相交于，.

（1）求证：；

（2）若，请你判断与的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析

【解析】

（1）由，BC⊥AD易证AC＝CD，再根据角平分线及垂直得到∠ACE＝∠ABE ，利用等角对等边证明AC＝AB，可得结论AB＝CD；

（2）易证∠CAD＝∠CDA＝∠MPC，则∠MPF＝∠CDM，然后根据AM为BC的中垂线，可得∠CMA＝∠BMA＝PMF，可得到∠MCD＝∠F．

（1）证明：∵AF平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵，

∵BC⊥AD，

∴BC为AD的中垂线，

∴AC＝CD．

在Rt△ACE和Rt△ABE中，∠CAD＋∠ACE＝∠BAD＋∠ABE＝90°，

∴∠ACE＝∠ABE，

∴AC＝AB，

∴AB＝CD；

（2）解：∠MCD＝∠F，

理由如下：∵∠BAC＝2∠MPC，

又∵∠BAC＝2∠CAD，

∴∠MPC＝∠CAD，

∵AC＝CD，

∴∠CAD＝∠CDA，

∴∠MPC＝∠CDA，

∴∠MPF＝∠CDM，

∵AC＝AB，AE⊥BC，

∴CE＝BE，

∴AM为BC的中垂线，

∴CM＝BM．

∵EM⊥BC，

∴EM平分∠CMB．

∴∠CME＝∠BME，

∵∠BME＝∠PMF，

∴∠PMF＝∠CME，

∴∠MCD＝∠F．