Question

【题目】如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，则点D在运动过程中ME的最小值为_____．

Answer 1

【答案】2．

【解析】

连接BE，过点M作MG⊥BE的延长线于点G，过点A作AK⊥AB交BD的延长

线于点K，可得△AKB是等腰直角三角形．根据线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，可得△ADE是等腰直角三角形，从而证明△ADK≌△AEB，得∠ABE＝∠K＝45°，可得△BMG是等腰直角三角形，可求得MG的长，当ME＝MG时，ME的值最小，进而可得ME的最小值．

如图，

连接BE，过点M作MG⊥BE的延长线于点G，

过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，

∵等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，

∴∠B＝45°，

∴∠K＝45°，

∴△AKB是等腰直角三角形．

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴∠KAD+∠DAB＝∠BAE+∠DAB＝90°，

∴∠KAD＝∠BAE，

在△ADK和△AEB中，

∴△ADK≌△AEB（SAS），

∴∠ABE＝∠K＝45°，

∴△BMG是等腰直角三角形，

∵AC＝BC＝4，

∴AB＝，

∵M为AB中点，

∴BM＝，

∴MG＝BG＝2，∠G＝90°，

∴BM＞MG，

∴当ME＝MG时，ME的值最小，

∴ME＝BE＝2．

故答案为2．