Question

5．已知函数y=（x²-1）（x²+ax+b）的图象关于直线x=2对称．
（1）问这个函数的图象与x轴共有几个交点？写出它们的坐标，并求出a，b的值．
（2）求这个函数的最小值．

Answer 1

分析 （1）令y=0代入函数解析式中，可得出函数图象与x轴的两个交点：（-1，0）和（1，0），由于图象关于x=2对称，所以可以求出（-1，0）与（1，0）的对称点为（3，0）和（5，0），利用根据系数的关系即可求出a与b的值；
（2）先将函数化为y=（x+1）（x-1）（x-3）（x-5）=（x²-4x+3）（x²-4x-5），利用换元法，令t=x²-4x+3，所以原函数化为y=t（t-8）=（t-4）²-16，利用二次函数的性质即可求出y的最小值．

解答 解：（1）令y=0代入y=（x+1）（x-1）（x²+ax+b），
∴x=-1，x=1，
∴（-1，0），（1，0）是函数图象与x轴的交点，
∵图象关于x=2对称，
∴（-1，0）关于x=2的对称点是（5，0），
（1，0）关于x=2的对称点是（3，0），
∴（3，0）与（5，0）也是函数图象与x轴的交点，
∴这个函数的图象与x轴共有4个交点，
∴x=3和x=5是（x+1）（x-1）（x²+ax+b）=0的解，
即x=3和x=5时（x²+ax+b）=0的解，
∴由根与系数的关系可知：3+5=-a，3×5=b
∴a=-8，b=15；
（2）由（1）可知y=（x+1）（x-1）（x-3）（x-5）=（x-1）（x-3）（x+1）（x-5）=（x²-4x+3）（x²-4x-5），
设t=x²-4x+3，
∴t=（x-2）²-1＞-1，
∴x²-4x+5=t-8，
∴y=t（t-8）=（t-4）²-16，
∴当t=4时，函数的最小值为-16．

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及二次函数与一元二次方程的关系，换元法等知识，题目较为综合．