Question

14．射线QN与边长为4的等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，以点P为圆心，$\sqrt{3}$cm为半径的圆也随之移动．
（1）若AM=MB=2cm，QM=4cm，且经过t秒，当⊙P与△ABC的边AC相切时，则t可取的一切值为t=2或3≤t≤7或t=8（单位：秒）；
（2）已知AM=acm，QM=4cm，且经过t秒，当⊙P与△ABC的边相切时．若此时t可取值有且仅有4个，则a的取值范围是1≤a≤4（单位：cm）

Answer 1

分析 （1）求出AB=AC=BC=4cm，MN=$\frac{1}{2}$AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；
（2）根据（1）的分析得出t可取值有4个，得出a的取值范围即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥AC，AM=BM．
∴N为BC中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，
分为三种情况：
①如图1，

当⊙P切AB于M′时，连接PM′，
则PM′=$\sqrt{3}$cm，∠PM′M=90°，
∵∠PMM′=∠BMN=60°，
∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，
∴QP=4cm-2cm=2cm，
即t=2；
②如图2，
当⊙P于AC切于A点时，连接PA，
则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=$\sqrt{3}$cm，
∴PM=1cm，
∴QP=4cm-1cm=3cm，
即t=3，
当⊙P于AC切于C点时，连接P′C，
则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=$\sqrt{3}$cm，
∴P′N=1cm，
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，
即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；
③如图3，

当⊙P切BC于N′时，连接PN′
则PN′=$\sqrt{3}$cm，∠PN′N=90°，
∵∠PNN′=∠BNM=60°，
∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，
∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，
即t=8；
注意：由于对称性可知，当P点运动到AB右侧时也存在⊙P切AB，此时PM也是为2，即P点为N点，同理可得P点在M点时，⊙P切BC．这两点都在第二种情况运动时间内．
故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8；
（2）因为当⊙P与△ABC的边相切时．此时t可取值有且仅有4个，
当t=2时，a=2；
当t=3时，a=1；
当t=7时，a=1.5；
当t=8时，a=4；
可得：1≤a≤4．

点评 本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．