Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，E、F分别为AB、AC边上的点，将△ABC分别沿DE、DF折叠，使点B落在DA的延长线上点M处，点C落在点N处，连接MN，若MN∥AC，则AF的长是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

过点D作DH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求∠C＝30°，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°，BD＝CD，由折叠的性质可得DN＝DC，DB＝DM，∠CDF＝∠NDF，可证△DMN是等边三角形，可得∠MDN＝60°，由折叠的性质可求∠HDF＝∠HFD＝45°，由直角三角形的性质可求解．

解：如图，过点D作DH⊥AC于H，

∵AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，

∴∠C＝30°，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°，BD＝CD，

∵MN∥AC，

∴∠DAC＝∠DMN＝60°，

∵DH⊥AF，

∴∠ADH＝30°，

∴AH＝AD＝，DH＝AH＝，

∵将△ABC分别沿DE、DF折叠，

∴DN＝DC，DB＝DM，∠CDF＝∠NDF，

∴DM＝DN，

∴△DMN是等边三角形，

∴∠MDN＝60°，

∴∠CDN＝30°，

∴∠CDF＝15°，

∴∠DFH＝∠C+∠CDF＝45°，

∵DH⊥AF，

∴∠HDF＝∠HFD＝45°，

∴DH＝HF＝，

∴AF＝HF+AH＝．

故答案为：．