题目内容

已知a³±b³=（a±b）（a²±ab+b²），如果一列数a₁，a₂，…满足对任意的正整数n都有 $数学公式$ ，则 $数学公式$ 的值为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：令n=1、2、3…，求出a₁，a₂，…的值，在表示出a₂-1，a₃-1，…从而得出规律，再提取 $\text{[math]}$ 后利用拆项法解答．
解答：根据题意，当n=1时，a₁=1³=1，
当n=2时，a₁+a₂=2³，a₂=2³-1=7，
所以a₂-1=7-1=6=3×（1×2），
当n=3时，a₁+a₂+a₃=3³，a₃=3³-2³=19，
所以a₃-1=19-1=18=3×（2×3），
当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=4³，a₄=4³-3³=37，
所以a₄-1=37-1=36=3×（3×4），
…
a₁₀₀=100³-99³=（100-99）×（100²+100×99+99²）
=100²+100×（100-1）+（100-1）²
=100²+100²-100+100²-200+1
=3×100²-300+1，
所以a₁₀₀-1=3×100²-100+1-1=100×（300-3）=100×297=3×（99×100），
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ ×（1- $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
故选A．
点评：本题考查了分式的混合运算，令n=1、2、3…，分别求出a₂-1，a₃-1，a₄-1，…，a₁₀₀-1并发现规律是解题的关键．