Question

已知a³±b³=（a±b）（a²±ab+b²），如果一列数a₁，a₂，…满足对任意的正整数n都有a1+a2+…an=n3，则

1

a2-1

+

1

a3-1

+…

1

a100-1

的值为（　　）

• A．

  33

  100

• B．

  11

  100

• C．

  11

  99

• D．

  33

  101

Answer 1

分析：令n=1、2、3…，求出a₁，a₂，…的值，在表示出a₂-1，a₃-1，…从而得出规律，再提取

1

3

后利用拆项法解答．

解答：解：根据题意，当n=1时，a₁=1³=1，
当n=2时，a₁+a₂=2³，a₂=2³-1=7，
所以a₂-1=7-1=6=3×（1×2），
当n=3时，a₁+a₂+a₃=3³，a₃=3³-2³=19，
所以a₃-1=19-1=18=3×（2×3），
当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=4³，a₄=4³-3³=37，
所以a₄-1=37-1=36=3×（3×4），
…
a₁₀₀=100³-99³
=（100-99）×（100²+100×99+99²）
=100²+100×（100-1）+（100-1）²
=100²+100²-100+100²-200+1
=3×100²-300+1，
所以a₁₀₀-1=3×100²-300+1-1=100×（300-3）=100×297=3×（99×100），

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

a100-1

=

1

3(1×2)

+

1

3(2×3)

+

1

3(3×4)

+…+

1

3(99×100)

=

1

3

（

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

99

-

1

100

）
=

1

3

×（1-

1

100

）
=

1

3

×

99

100

=

33

100

．
故选A．

点评：本题考查了分式的混合运算，令n=1、2、3…，分别求出a₂-1，a₃-1，a₄-1，…，a₁₀₀-1并发现规律是解题的关键．