Question

15．如图，在?ABCD中，点E，M分别在边AB，CD上，且AE=CM，点F，N分别在边BC，AD上，且DN=BF．
（1）求证：△AEN≌△CMF；
（2）连接EM，FN，若EM⊥FN，求证：EFMN是菱形．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四边形的性质得出AN=CF，再利用全等三角形的判定方法得出答案；
（2）直接利用全等三角形的判定与性质得出EN=FM，EF=MN，再结合菱形的判定方法得出答案．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
∵ND=BF，
∴AD-ND=BC-BF，
即AN=CF，
在△AEN和△CMF中
$\left\{\begin{array}{l}{AN=CM}\\{∠A=∠C}\\{AN=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEN≌△CMF（SAS）；

（2）如图：由（1）△AEN≌△CMF，
故EN=FM，
同理可得：△EBF≌△MDN，
∴EF=MN，
∵EN=FM，EF=MN，
∴四边形EFMN是平行四边形，
∵EM⊥FN，
∴四边形EFMN是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．