Question

6．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．将△MDC绕点M旋转，旋转后对应的三角形为△MC′D′，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，连接EF，求证：EF∥C′D′．

Answer 1

分析 连接BD，AM，首先证明出∠ABD=∠DBC，结合题干条件得到∠BDC=90°，进而得到DC=MD，即可得到△MDC是等边三角形，四边形ABMD是菱形，△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，根据ASA证明△BME≌△AMF，于是得到ME=MF，结合∠EMF=60°，即可证明△MEF是等边三角形，可得∠EFM=∠C′=60°，则得EF∥C′D′．

解答 解：（1）连接BD，AM，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠C=60°，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠BDC=90°，
∵M是BC的中点，
∴DM=BM=MC，
∴△MDC是等边三角形，
∴CD=DM=CM=BM=AD=AB，
∴四边形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，
∴∠BME=∠AMF，
在△BME与△AMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠FAM}\\{BM=AM}\\{∠BME=∠AMF}\end{array}\right.$，
∴△BME≌△AMF（ASA），
∴ME=MF，
∵∠EMF=∠DMC=60°，
∴△EMF是等边三角形，
∴∠FEM=∠EFM=60°，
∴∠EFM=∠C′=60°，
∴EF∥C′D′．

点评 本题主要考查了几何变换的综合题，此题涉及到等边三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等腰梯形的性质等知识点，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．