Question

25、如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．

Answer 1

分析：先过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，构造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，这两个三角形已具备两个条件：90°的角以及PE=PF，只需再证∠EPC=∠FPD，根据已知，两个角都等于90°减去∠CPF，那么三角形全等就可证．

解答：解：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，
∴四边形OEPF为矩形，
∴∠EPF=90°，∴∠EPC+∠CPF=90°，
又∠CPD=90°，∴∠CPF+∠FPD=90°，
∴∠EPC=∠FPD．
∴Rt△PCE≌Rt△PDF（ASA），
∴PC=PD．

点评：本题考查了角平分线的性质，以及四边形的内角和是360°、还有三角形全等的判定和性质等知识．正确作出辅助线是解答本题的关键．