Question

已知△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，BD的延长线交AC于点F，交CE于G．
（1）求证：BD⊥CE；
（2）连接AG，求证：EG+DG=

2

AG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）证明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，借助等腰直角三角形的性质，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；证明A、D、G、E四点共圆，得到∠AGD=∠AED=45°，证明△ADM≌△AEN，得到DM=EN；同理可证GM=GN，得到GN=

GD+GE

2

；证明AN=GN，借助勾股定理即可解决问题．

解答：证明：（1）∵△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE；在△ABD与△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠GBC+∠GCB=∠ABC+∠ACB=90°，
∴BD⊥CE．
（2）如图，连接AG；过点A作AM⊥DG，
AN⊥GE，交GE的延长线于点N；
设AG=λ，GD=μ，GE=γ；
∵∠DAE+∠DGE=180°，
∴A、D、G、E四点共圆，
∴∠AGD=∠AED=45°，
∠AGE=∠ADE=45°，
∠AEN=∠ADM；
∴AG平分∠DGN，
∴AM=AN；在△ADM与△AEN中，

AD=AE AM=AN

，
∴△ADM≌△AEN（HL），
∴DM=EN（设为λ）；同理可证：GM=GN（设为μ），
即GD=λ+μ，GE=μ-λ，
∴λ=

GD-GE

2

，GN=GE+λ=

GD+GE

2

；
∵∠AGN=45°，∠N=90°，
∴∠NAG=∠AGN=45°，
∴AN=GN；由勾股定理得：AG²=2GN²，
∴EG+DG=

2

AG．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线；牢固掌握定理内容，灵活运用有关定理来分析、判断．