Question

8．计算：$\frac{（{2}^{4}+\frac{1}{4}）（{4}^{4}+\frac{1}{4}）（{6}^{4}+\frac{1}{4}）（{8}^{4}+\frac{1}{4}）（1{0}^{4}+\frac{1}{4}）}{（{1}^{4}+\frac{1}{4}）（{3}^{4}+\frac{1}{4}）（{5}^{4}+\frac{1}{4}）（{7}^{4}+\frac{1}{4}）（{9}^{4}+\frac{1}{4}）}$．

Answer 1

分析 观察$\frac{（{2}^{4}+\frac{1}{4}）（{4}^{4}+\frac{1}{4}）（{6}^{4}+\frac{1}{4}）（{8}^{4}+\frac{1}{4}）（1{0}^{4}+\frac{1}{4}）}{（{1}^{4}+\frac{1}{4}）（{3}^{4}+\frac{1}{4}）（{5}^{4}+\frac{1}{4}）（{7}^{4}+\frac{1}{4}）（{9}^{4}+\frac{1}{4}）}$，发现规律：均包含有x4+$\frac{1}{4}$的形式，因而对其进行因式分解得（x2-x+$\frac{1}{2}$）（x2+x+$\frac{1}{2}$）．将此规律运用到原式中，通过对分子、分母约分化简，最后求出原式的值．

解答 解：x⁴+$\frac{1}{4}$=[（x²）²+x²+$\frac{1}{4}$]-x²=（x²+$\frac{1}{2}$）²-x²=（x²+$\frac{1}{2}$+x）（x²+$\frac{1}{2}$-x），
原式=$\frac{\frac{5}{2}×\frac{13}{2}×\frac{25}{2}×\frac{41}{2}×\frac{59}{2}×\frac{85}{2}×\frac{113}{2}×\frac{145}{2}×\frac{181}{2}×\frac{221}{2}}{\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×\frac{13}{2}×\frac{25}{2}×\frac{41}{2}×\frac{59}{2}×\frac{85}{2}×\frac{113}{2}×\frac{145}{2}×\frac{181}{2}}$
=$\frac{\frac{221}{2}}{\frac{1}{2}}$=221．

点评 本题考查了有理数无理数的概念与运算，发现规律：均包含有x4+$\frac{1}{4}$的形式，因而对其进行因式分解得（x2-x+$\frac{1}{2}$）（x2+x+$\frac{1}{2}$）是解题关键．