Question

9．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B，C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP（如图①）经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ（如图②），当点C′恰好落在OA上时，点P的坐标是$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$或 $\frac{11-\sqrt{13}}{3}$．

Answer 1

分析 设PB=B′P=x，则DE=ED′=15-x，只要证明PC=PC′=11-x，在Rt△OB′C′中，根据OC′²=OB′²+B′C′²，列出方程即可解决问题．

解答 解：∵把△OPB沿OP折叠，使点C落在点C′处，
∴BP=PB′，OB=OB′=6，∠A=∠OB′P=90°，
∵把△CPQ沿PQ折叠，使点D落在直线OA上的点C′处，
∴CP=C′P，CQ=C′Q，∠PC′Q=∠C=90°，
设BP=B′P=x，则PC=PC′=11-x，
∵BC∥AC，
∴∠1=∠EPOA，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠C′OP，
∴OC′=PC′=11-x，
∴B′C′=11-2x，
在Rt△OB′C′中，
∵OC′²=OB′²+B′C′²，
∴6²+（11-2x）²=（11-x）²，
解得x=$\frac{11±\sqrt{13}}{3}$，
∴AE=$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$或 $\frac{11-\sqrt{13}}{3}$．
故答案为 $\frac{11+\sqrt{13}}{3}$或 $\frac{11-\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．