Question

17．如图，在直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+2与x轴交于A、B两点，与直线y=2x交于点M（1，m）．
（1）求m，b的值；
（2）已知点N，点M关于原点O对称，现将线段MN沿y轴向上平移s（s＞0）个单位长度．若线段MN与抛物线有两个不同的公共点，试求s的取值范围；
（3）利用尺规作图，在该抛物线上作出点G，使得∠AGO=∠BGO，并简要说明理由．（保留作图痕迹）

Answer 1

分析 （1）把点M的坐标先代入直线方程求得m的值；然后把点M的坐标（1，2）代入抛物线方程来求b的值；
（2）由对称的性质得到N（-1，-2），根据点到坐标与图形的性质和平移的性质求得s=2设平移后的直线表达式为y=2x+s，所以设平移后的直线表达式为y=2x+s，与抛物线方程联立方程组，结合根的判别式的符号来求s的取值范围；
（3）在x轴上取一点P（-2，0），以P为圆心，OP为半径作圆，⊙P与抛物线的交点，即是所求作的点G（图中的G与G′）．当点G在x轴上方时，利用两边及夹角法推知△GPA∽△BPG．故∠PGA=∠PBG，结合等边对等角得到：∠POG=∠PGO．又由图中角与角间的和差关系推知：∠POG=∠PBG+∠OGB，∠PGO=∠PGA+∠AGO，即∠AGO=∠BGO．同理可证：当点G（G′）在x轴下方时，结论也成立．

解答 解：（1）把M（1，m）代入y=2x得m=2×1=2．
把M（1，2）代入y=-x²+bx+2得2=-1²+b+2，即b=1．

（2）由（1）得y=-x²+x+2，M（1，2）
因为点N，点M关于原点O对称，所以N（-1，-2）
过点N作CN⊥x轴，交抛物线于C，则C的横坐标为-1．
所以C的纵坐标为-（-1）²+（-1）+2=0．
所以C（-1，0）与A重合．
则CN=AN=2，即当s=2线段MN与抛物线有两个公共点．
设平移后的直线表达式为y=2x+s
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x+s\\ y=-{x^2}+x+2\end{array}\right.$得x²+x+s-2=0．
由△=1²-4（s-2）=0，得$s=\frac{9}{4}$．
即当$s=\frac{9}{4}$，线段MN与抛物线只有一个公共点．
所以，当线段MN与抛物线有两个公共点时．s取值范围为$2≤s＜\frac{9}{4}$．

（3）如图，在x轴上取一点P（-2，0），以P为圆心，OP为半径作圆，⊙P与抛物线的交点，即是所求作的点G（图中的G与G′）．
理由：
当点G在x轴上方时，由作图可知，
PG=2，PA=1，PB=4．则$\frac{PA}{PG}=\frac{PG}{PB}=\frac{1}{2}$．
又∵∠GPA=∠BPG，
∴△GPA∽△BPG．
∴∠PGA=∠PBG，
∵GP=PB=2，
∴∠POG=∠PGO．
又∠POG=∠PBG+∠OGB，∠PGO=∠PGA+∠AGO，
∴∠AGO=∠BGO．
同理可证：当点G（G′）在x轴下方时，结论也成立．

点评 本题考查了二次函数综合题，解题时涉及到了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，一次函数图象的几何变换以及直线与抛物线的交点问题，综合性比较强，难度较大．