Question

如图，AB为圆O的直径，点C是圆O上一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，线段AB与DC的延长线交于点P．
（1）求证：CD是圆O的切线；
（2）若PB=BO=1，求图中阴影部分的面积（结果保留根号）．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；
（2）连接OE、BC，证得△OBC是等边三角形，△OAE是等边三角形，进而求得△APD、△OAE、△OPC、弧形EOC的面积，用S_△APD-S_△OAE-S_△OPC-S_弧EOC即可求得图中阴影部分的面积；

解答：解：（1）连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
又∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是圆O的切线．

（2）连接OE、BC，
∵PB=BO=1，
∴BC=OB=BP，
∵OB=OC，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∴△OAE是等边三角形，
∴∠EOC=60°，
∵AP=3OB=3，
∴AD=

1

2

AP=

3

2

，PD=

3

2

AP=

3 3

2

，
∴S_△APD=

1

2

AD•PD=

1

2

×

3

2

×

3 3

2

=

9 3

8

，S_△OAE=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，S_△OPC=

1

2

OC•PC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，S_弧EOC=

60π•OC2

360

=

π

6

，
∴阴影部分的面积=S_△APD-S_△OAE-S_△OPC-S_弧EOC=

9 3

8

-

3

4

-

3

2

-

π

6

=

3 3

8

-

π

6

；

点评：此题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，直角三角函数的应用，三角形面积公式的应用，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．