Question

9．等腰三角形ABC的顶角∠A=100°，两腰AB、AC的垂直平分线相交于点P，试判断点P在△ABC的内部、外部，还是在BC边上．请画图说明理由．

Answer 1

分析 根据题意画出草图分析，根据等腰三角形性质可得∠ABC=∠C=40°，证明Rt△AMP≌Rt△APO，得∠PAM=∠PAC=50°，根据线段垂直平分线性质知，∠PBA=∠PAB=50°＞∠ABC，即可得解．

解答 解：点P在△ABC的外部，
理由是：如图所示，设垂直平分线MN、OQ相交于点P．

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠BAC=100°，
∴∠ABC=（180°-100°）÷2=40°．
∵AM=$\frac{1}{2}$AB，AO=$\frac{1}{2}$AC，
∴AM=AO，
在Rt△AMP和Rt△AOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{AM=AO}\end{array}\right.$，
∴Rt△AMP≌Rt△AOP，
∴∠PAM=∠PAC=50°．
∵MN垂直平分AB，
∴PA=PB．
∴∠PBA=∠PAB=50°＞∠ABC，
∴点P在△ABC的外部．

点评 此题考查了等腰三角形性质、线段的垂直平分线性质等知识点，如何判断交点位置是关键．