Question

14．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD中点的直线交AD、BC边于F、E．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，写出EF与BD的关系．
（3）若∠A=60°，AB=4，BC=6，四边形BEDF是矩形，求该矩形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）根据根据菱形的性质作出判断：EF与BD互相垂直平分；
（3）根据Rt△ABF的边角关系，求得BF和AF，再根据矩形的性质，求得DF的长，最后计算矩形的面积．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD中点，
∴BC∥AD，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，根据菱形的性质可得：EF与BD互相垂直平分；
（3）∵四边形BEDF是矩形
∴∠AFB=90°
又∵∠A=60°，
∴∠ABF=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴Rt△ABF中，BF=2$\sqrt{3}$，
又∵AD=BC=6，
∴DF=6-2=4，
∴矩形BEDF的面积=BF×DF=2$\sqrt{3}$×4=8$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形、矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题时注意：矩形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．