Question

已知a，b是关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若ab-a-b=27，求m；
（3）是否存在m，使得a与b的倒数和为0？若存在，请求出m，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据已知可知，方程有两个实数根，那么△≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得出a+b=2（m+1），ab=m²+5，再代入ab-a-b=27，即可求出m的值；
（3）根据根与系数的关系得出a+b=2（m+1），ab=m²+5，再利用

1

a

+

1

b

=0成立求出m的值即可．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0有两个实数根，
∴△=b²-4ac=[-2（m+1）]²-4×1×（m²+5）=8m-16≥0，
解得m≥2；

（2）∵a，b是关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的两个实数根，
∴a+b=2（m+1），ab=m²+5．
∵ab-a-b=27，
∴m²+5-2（m+1）=27，
∴m²-2m-24=0，
解得m=6或-4，
∵m≥2，
∴m=6；

（3）不存在m的值，使得a与b的倒数和为0．理由如下：
∵a，b是关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的两个实数根，
∴a+b=2（m+1），ab=m²+5．
若

1

a

+

1

b

=0成立，则2（m+1）=0，
解上述方程得，m=-1．
∵m≥2，
∴m=-1不合题意，
∴不存在m的值，使得a与b的倒数和为0成立．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．