Question

【题目】问题再现：

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2∴（a+b）2＝a2+2ab+b2

这就验证了两数和的完全平方公式．

问题提出：

如何利用图形几何意义的方法推证：13+23＝32 如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形，由此可得：13+23＝（1+2）2＝32

尝试解决：

请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：13+23+33＝　 　（要求自己构造图形并写出推证过程）

类比归纳：

请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝　 　（要求直接写出结论，不必写出解题过程）

实际应用：

图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．

例如：棱长是1的正方体有：4×4×4＝43个，棱长是2的正方体有：3×3×3＝33个，棱长是3的正方体有：2×2×2＝23个，棱长是4的正方体有：1×1×l＝13个，然后利用（3）类比归纳的结论，可得：　　＝　 　图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体，图中大小正方体一共有　 　个．

逆向应用：

如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大小正方体一共有44100个，那么棱长为1的小正方体一共有　 　个．

Answer 1

【答案】（1）（1+2+3）2；（2）（1+2+3+…+n）2；（3）13+23+33+43，（1+2+3+4）2，100个；（4）8000．

【解析】

根据规律可以利用相同的方法进行探究推证，由于是探究13+23+33＝？肯定构成大正方形有9个基本图形（3个正方形6个长方形）组成，如图所示可以推证．

实际应用：根据规律求大正方体中含有多少个正方体，可以转化为13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2来求得．

逆向应用：可将总个数看成m2，然后再写成＝（1+2+3+…+n）2得出大正方形每条边上有几个棱长为1的小正方体，进而计算出棱长为1的小正方体的个数．

解：如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；

B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，

因此B、C、D就可以拼成2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；

G与H、E与F和可以拼成3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33；

而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，

因此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62．

故答案为：（1+2+3）2或62．

根据规律可得：13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2．

依据规律得：13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝102＝100．

故答案为：13+23+33+43＝（1+2+3+4）2 100

∵44100＝2102＝（1+2+3+…+n）2

∴n＝20

∴20×20×20＝8000

故答案为8000．