题目内容
18、已知x1，x2，…，x31都是正整数，满足x1＜x2＜…＜x31，如果x1+x2+…+x31=2009，求x31的最大值和最小值．
分析：根据已知可得x31=2009-（x1+x2+…+x30），当（x1+x2+…+x30）最小时，x31最大，此时x1+x2+…+x30=1+2+…+30，代入可求x31的最大值；当（x1+x2+…+x30）最大时，x31最小，根据“夹逼法”求x31最小值．
解答：解：由巳知可得x31=2009-（x1+x2+…+x30），
要使x31最大，应使（x1+x2+…+x30）最小，
由于x1+x2+…+x31=2009，
因此x31最大值为：
2009-（1+2+…+30）=2009-465=1544；
要使x31最小，应使（x1+x2+…+x30）最大，
∵79+78+…+50+49=1984＜2009，
80+79+…+51+50=2015＞2009，
可得80+79+…+52+51+44=2009，
因此x31最小值为80．
要使x31最大，应使（x1+x2+…+x30）最小，
由于x1+x2+…+x31=2009，
因此x31最大值为：
2009-（1+2+…+30）=2009-465=1544；
要使x31最小，应使（x1+x2+…+x30）最大，
∵79+78+…+50+49=1984＜2009，
80+79+…+51+50=2015＞2009，
可得80+79+…+52+51+44=2009，
因此x31最小值为80．
点评：本题考查了整数问题的综合运用．关键是把x1+x2+…+x30看作整体，根据已知条件求其最大值和最小值．
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