Question

9．（1）如图1，已知直线l₁∥l₂，且l₃和l₁，l₂分别交于A，B两点，点P在线段AB上，则∠1，∠2，∠3之间的等量关系是∠3=∠1+∠2；如图2，点A在B处北偏东40°方向，在C处的北偏西45°方向，则∠BAC=85°．
（2）如图3，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°，试说明：AB∥CD；并探究∠2与∠3的数量关系．

Answer 1

分析 （1）在图1中，作PM∥AC，利用平行线性质即可证明；利用①结论即可求得∠BAC的度数．
（2）根据BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠BDC=180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．根据∠1+∠2=90°，即∠BED=90°；那么∠3+∠FDE=90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系．

解答 解：（1）如图1中，作PM∥AC，
∵AC∥BD，
∴PM∥BD，
∴∠1=∠CPM，∠2=∠MPD，
∴∠1+∠2=∠CPM+∠MPD=∠CPD=∠3．
由题可知：∠BAC=∠B+∠C，
∵∠B=40°，∠C=45°，
∴∠BAC=40°+45°=85°．
故答案为：∠1+∠2=∠3，85°．

（2）证明：∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠2=$\frac{1}{2}$∠BDC；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=180°；
∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）
∵DE平分∠BDC，
∴∠2=∠FDE；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BED=∠DEF=90°；
∴∠3+∠FDE=90°；
∴∠2+∠3=90°．

点评 此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，正确添加辅助线是解决问题的关键．