Question

【题目】在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．

（1）如图1，求证：AB为的切线；

（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F．

①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．

②若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①OA垂直平分CE，理由见解析；②

【解析】

（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OG=OC，即可证明；

（2）①利用切线长定理，证明OE=OC，结合OE=OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论；

②根据求出OF和CF，再证明△OCF∽△OAC，求出AC，再证明△BEO∽△BCA，得到，设BO=x，BE=y，可得关于x和y的二元一次方程组，求解可得BO和BE，从而可得结果.

解：（1）如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，

∵OA平分交BC于点O，

∴OG=OC，

∴点G在上，

即AB与相切；

（2）①OA垂直平分CE，理由是：

连接OE，

∵AB与相切于点E，AC与相切于点C，

∴AE=AC，

∵OE=OC，

∴OA垂直平分CE；

②∵，

则FC=2OF，在△OCF中，

，

解得：OF=，则CF=，

由①得：OA⊥CE，

则∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°，

∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°，

∴△OCF∽△OAC，

∴，即，

解得：AC=6，

∵AB与圆O切于点E，

∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B，

∴△BEO∽△BCA，

∴，设BO=x，BE=y，

则，

可得：，

解得：，即BO=5，BE=4，

∴tanB==.