Question

【题目】如图所示，二次函数的图像（记为抛物线）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为，，且．

（1）若，，且过点，求该二次函数的表达式；

（2）若关于x的一元二次方程的判别式．求证：当时，二次函数的图像与x轴没有交点．

（3）若，点P的坐标为，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线交于点D，若，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据题意，把，，点，代入解析式，即可求出解析式；

（2）利用根的判别式进行判断，即可得到结论；

（3）根据二次函数的性质，得到，结合根与系数的关系，得到，然后证明，得到，然后得到，利用二次根式的性质即可得到答案．

解：（1）由题意得：，

∵函数过点，

∴，

∴，

∴．

（2）由题意，一元二次方程的判别式．

∴，

∴，

在函数中，

∵，

∴，

即函数图象与x轴没有交点．

（3）因为函数顶点在直线l上，则有，

即①

∵，

∴，

即，

∴，

由①得：②

∵，

∴

∵，

∴，

则．

∴，

∴，

∴．

∴，

∴．

由②得：，

∴，

∴当时，．