Question

8．观察下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
…
（1）根据以上规律，则（x-1）（x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁸-1．
（2）你能否由此归纳出一般性规律：
（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ-1．
（3）根据上述的规律，求1+2+2²+…+2³⁸+2³⁹的值．

Answer 1

分析 （1）根据规律可得出（x-1）（x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）结果；
（2）由规律得出x的指数为n+1，即可得出答案；
（3）1+2+2²+…+2³⁴+2³⁵的可以写成（2-1）（2⁰+2¹+2²++…+2³⁴+2³⁹），根据规律计算即可．

解答 解：（1）由规律得：（x-1）（x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁸-1；
故答案为x⁸-1；

（2）（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=xⁿ-1；
故答案为xⁿ-1．

（3）1+2+2²+…+2³⁴+2³⁹=（2-1）（2⁰+2¹+2²++…+2³⁴+2³⁹）
=2⁴⁰-1，

点评 本题考查了平方差公式，明确最后结果的最高指数比第二个括号中的最高指数多1，是解题的关键．