Question

6．如图，矩形AOBC，点A、B分别在x、y轴上，对角线AB、OC交于点D，点C（$\sqrt{3}$，1），点M是射线OC上一动点．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）若△OAM是等腰三角形，求点M的坐标；
（3）若N是OA上的动点，则MA+MN是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用点C坐标，即可求出相应角度，利用矩形性质，即可求出三角形CDA两个内角度数为60°，即可证明三角形是等边三角形．
（2）由等腰三角形性质，对三角形OAM三边关系进行讨论，分别求出三种情况下点M的坐标即可；
（3）做点A关于直线OC对称点，利用对称性可以求出最小值．

解答 解：（1）∵C（$\sqrt{3}$，1），
∴AC=1，OA=$\sqrt{3}$，
∴OC=2，
∴∠COA=30°，∠OCA=60°，
∵矩形AOBC，
∴∠ABC=∠OCB=30°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形；

（2）△OAM是等腰三角形，
当OM=MA时，此时点M与点D重合，
∵C（$\sqrt{3}$，1），点D为OC中点，
∴M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
当OM₁=OA时，做M₁E⊥OA，垂足为E，如下图：

∴OM₁=OA=$\sqrt{3}$，
由（1）知∠M₁OA=30°，
∴M₁E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OE=$\frac{3}{2}$，
∴M₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
当OA=AM₂时，做M₂F⊥OA，垂足为F，如上图：
AM₂=$\sqrt{3}$，
由（1）知∠COA=∠AM₂O=30°，
∴∠M₂AF=60°，
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，M₂F=$\frac{3}{2}$，
M₂（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
综上所述：点M坐标为M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）、（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）、（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

（3）存在，做点A关于直线OC对称点为G，如下图：

则AG⊥OC，且∠GOA=60°，OG=OA=$\sqrt{3}$，
∴ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，GN=$\frac{3}{2}$，
∵点A、G关于直线OC对称，
∴MG=MA，
∴MA+MN=MG+MN，
∵N是OA上的动点，
∴当GN⊥x轴时，MA+MN最小，
∴存在MA+MN存在最小值，最小值为$\frac{3}{2}$．

点评 题目考查了一次函数综合应用，考查知识点包括：等腰三角形、线段最值、动点问题，解决此类题目关键是找到图形变换的规律，题目整体较难．适合学生压轴训练．