Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连接DE、BE，且∠C=∠BED．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若OA=10，CF=2AF，求AC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）由∠BED=∠BAD，∠C=∠BED，可得∠C=∠AFO，即可证得∠OAC=90°，即可得AC是⊙O的切线．
（2）易证得△ACF∽△OCA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AC的长．

解答：（1）证明：∵∠BED=∠BAD，∠C=∠BED，
∴∠BAD=∠C，
∵OC⊥AD，
∴∠BAD+∠AOC=90°，
∴∠C+∠AOC=90°．
∴∠OAC=90°．
∴OA⊥AC．
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵OA⊥AC，OC⊥AD，
∴∠OAC=∠AFC=90°，
∵∠C是公共角，
∴△ACF∽△OCA，
∴

CF

AC

=

AF

OA

，
∵OA=10，CF=2AF，
∴AC=2OA=20．

点评：此题考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．