Question

20．如图1，在△ABC中，AB=AC，G为三角形外一点，且△GBC为等边三角形．
（1）求证：直线AG垂直平分BC；
（2）以AB为一边作等边△ABE（如图2），连接EG、EC，试判断△EGC是否构成直角三角形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由GB=GC，得出点G在BC的垂直平分线上，同理得出点A在BC的垂直平分线上，即可得出结论；                                
（2）由等边三角形的性质得出GB=BC=GC，EB=BA，∠EBA=∠GBC=∠BGC=∠BCG=60°，证出∠EBC=∠ABG，由SAS证明△EBC≌△ABG，得出∠ECB=∠AGB，再由等腰三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）证明：∵△GBC为等边三角形，
∴GB=GC，
∴点G在BC的垂直平分线上，
又∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴直线AG垂直平分BC；                                
（2）解：△EGC能构成直角三角形；理由如下：
∵△GBC和△ABE为等边三角形，
∴GB=BC=GC，EB=BA，∠EBA=∠GBC=∠BGC=∠BCG=60°，
∴∠EBC=∠ABG，
在△EBC和△ABG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=BA}&{\;}\\{∠EBC=∠ABG}&{\;}\\{BC=GB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△ABG（SAS），
∴∠ECB=∠AGB，
∵GB=GC且AG⊥BC，
∴∠AGB=$\frac{1}{2}$∠BGC=30°
∴∠ECB=30°，
∴∠ECG=90°，
即△EGC构成直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质；本题综合性强，证明三角形全等是解决（2）的关键．