Question

13．【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？
【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．
【探究一】
（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
此时，显然能搭成一种等腰三角形．
所以，当n=3时，m=1．
（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．
所以，当n=4时，m=0．
（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当n=5时，m=1．
（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当n=6时，m=1．
综上所述，可得：表①

n	3	4	5	6
m	1	0	1	1

【探究二】
（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？
（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）
（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
（只需把结果填在表②中）
表②

n	7	8	9	10
m	2	1	2	2

你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…
【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）
表③

n	4k-1	4k	4k+1	4k+2
m	k	k-1	k	k

【问题应用】：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了672根木棒．（只填结果）

Answer 1

分析 探究二：仿照探究一的方法进行分析即可；
问题解决：根据探究一、二的结果总结规律填表即可；
问题应用：根据规律进行计算求出m的值．

解答 解：（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
此时，能搭成二种等腰三角形，
即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形
分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形
当n=7时，m=2．
（2）用8根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
分成2根木棒、2根木棒和4根木棒，则不能搭成一种等腰三角形，
分成3根木棒、3根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形，
所以，当n=8时，m=1．
用9根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形
分成4根木棒、4根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形
所以，当n=9时，m=2．
用10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形
分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形
所以，当n=10时，m=2．
故答案为：2；1；2；2．
问题解决：由规律可知，答案为：k；k-1；k；k．
问题应用：2016÷4=504，504-1=503，
当三角形是等边三角形时，面积最大，
2016÷3=672，
∴用2016根相同的木棒搭一个三角形，能搭成503种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒．

点评 本题考查的是作图应用与设计作图、三角形三边关系，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图，根据三角形两边之和大于第三边和等腰三角形的性质进行解答．