Question

10．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²交于A，B两点，其中点A的横坐标是-2．
（1）求这条直线的解析式及点B的坐标；
（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；
（2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，然后分若∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²；若∠ACB=90°，则AB²=AC²+BC²；若∠ABC=90°，则AB²+BC²=AC²三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；

解答 解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2，
∴y=$\frac{1}{4}$×（-2）²=1，A点的坐标为（-2，1），
设直线的函数关系式为y=kx+b，
将（0，4），（-2，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线y=$\frac{3}{2}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+4}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=16}\end{array}\right.$
∴点B的坐标为（8，16）；

（2）如图，连接AC，BC，
∵由A（-2，1），B（8，16）可求得AB²=325．
设点C（m，0），同理可得AC²=（m+2）²+1²=m²+4m+5，
BC²=（m-8）²+16²=m²-16m+320，
①若∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²，即325+m²+4m+5=m²-16m+320，
解得：m=-$\frac{1}{2}$；
②若∠ACB=90°，则AB²=AC²+BC²，即325=m²+4m+5+m²-16m+320，
解得：m=0或m=6；
③若∠ABC=90°，则AB²+BC²=AC²，即m²+4m+5=m²-16m+320+325，
解得：m=32；
∴点C的坐标为（-$\frac{1}{2}$，0），（0，0），（6，0），（32，0）．

点评 本题是二次函数的综合题型．一次函数的应用、待定系数法、两点间距离公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．