Question

5．已知抛物线C₁：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$mx-2m交x轴于A（α，0），B（β，0），交y轴于C点，且α＜0＜β，（|OA|+|OB|）²=12|OC|+1．直线l：y=kx+2
（1）求m； 
（2）将抛物线C₁平移到顶点为原点的抛物线C₂，l与C₂交于点P，Q，在抛物线C₂上找一点M使得PM⊥QM恒成立，求M点的坐标；
（3）k=2时，求矩形MPNQ的顶点N的坐标（M为上题中的点）．

Answer 1

分析 （1）对于抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$mx-2m，令y=0，得$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$mx-2m=0，解得x=-m或4m，根据条件列出方程，即可解决问题．
（2）如图抛物线C₂的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$消去y得到x²-2kx-4=0，可得x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-4，y₁+y₂=2k²+4，y₁•y₂=4，所以PQ的中点O′坐标为（k，k²+2），只要证明△POQ是直角三角形，即可解决问题．
（3）利用方程组求出P、Q、O′的坐标，再根据矩形的性质即可解决问题．

解答 解：（1）对于抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$mx-2m，令y=0，得$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$mx-2m=0，
解得x=-m或4m，
由题意，点C在y轴的负半轴上，-2m＜0，
∴m＞0，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$mx-2m交x轴于A（α，0），B（β，0），交y轴于C点，且α＜0＜β，
∴α=-m，β=4m，
∵（|OA|+|OB|）²=12|OC|+1，
∴25m²-24m-1=0，
解得m=1或-$\frac{1}{25}$，
∴m=1．

（2）如图抛物线C₂的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$消去y得到x²-2kx-4=0，
∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-4，y₁+y₂=2k²+4，y₁•y₂=4，
∴PQ的中点O′坐标为（k，k²+2），
∴OO′=$\sqrt{{k}^{2}+（{k}^{2}+2）^{2}}$，
∴PQ=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{4{k}^{2}+16+（2{k}^{2}+4）^{2}-16}$=2$\sqrt{{k}^{2}+（{k}^{2}+2）^{2}}$，
∴O′Q=O′P=O′O，
∴△POQ是直角三角形，
∴点M即为原点O，
∴M（0，0）．

（3）当k=2时，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2-2\sqrt{2}}\\{y=6-4\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{2}}\\{Y=6+4\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴Q（2-2$\sqrt{2}$，6-4$\sqrt{2}$），P（2+2$\sqrt{2}$，6+4$\sqrt{2}$），
∴O′（2，6），
∵四边形PMQN是矩形，
∴NO′=OO′，
∴N（4，12）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程的根与系数关系、两点间距离公式、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，灵活运用根与系数关系，属于中考压轴题．