Question

19．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S_△AOE：S_{四边形DGOF}=2：7．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；
②在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等；
③可证明∠CDE=∠DFE；
④设S_△EGO=x，则S_△AOE=2x，S_△BOF=4x，可通过面积转化进行解答．

解答 解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，
故①正确；

②∵△BOC为等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，BF=BF，
∴△BCF≌△BOF，
∴∠BOF=∠BCF=90°，
∴BO⊥EF，
∵BF⊥OC，
∴∠CMB=∠EOB=90°，
∴BO≠BM，
∴△EOB与△CMB不全等；
故②错误；

③易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠ADE=∠1=30°，∠BEO=60°
∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，
∴∠CDE=∠DFE，
∴DE=EF，
故③正确；

④易知△AOE≌△COF，
∴S_△AOE=S_△COF，
∵S_△COF=2S_△CMF，
∵∠FCO=30°，
∴FM=$\frac{CM}{\sqrt{3}}$，BM=$\sqrt{3}$CM，
∴$\frac{FM}{BM}$=$\frac{1}{3}$，
∴S_△FOM：S_△BOF=1：4，
易证△GEO≌△MFO，
∴S_△GEO=S_△MFO，
易证明四边形DEBF是平行四边形，
∴S_△DEF=S_△EFB=2S△BOF，
设S_△EGO=x，则S_△AOE=2x，S_△BOF=4x，
S_{四边形DGOF}=S_△DEF-S_△EGO=S_△EFB-S_△EGO=8x-x，
∴S_△AOE：S_{四边形DGOF}=2x：（8x-x）=2：7，
故④正确；
所以其中正确结论的个数为3个；
故选B．

点评 本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．