Question

12．已知直线y=kx+6（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒2个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．
（1）当k=-1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．
（2）当k=-$\frac{3}{4}$时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）²+n与直线AB的另一交点为D（如图2），①求CD的长； ②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

Answer 1

分析 （1）①求出函数解析式，求出A、B的坐标，当t=1，求出OP=2，AQ=2，从而得到C，Q的解析式；
②由题意得，P（2t，0），C（2t，-2t+6），Q（6-2t，0），分两种情况讨论：情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°；情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°．
（2）①由题意得：C（2t，-$\frac{3}{2}$t+6），根据△DEC∽△AOB，得到$\frac{DE}{AO}$=$\frac{CD}{BA}$，求出CD的长；
②S_△COD为定值，要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，当OC⊥AB时，OC最短，此时OC的长为$\frac{24}{5}$，判断出Rt△PCO∽Rt△OAB，得到$\frac{OP}{BO}$=$\frac{OC}{BA}$，解答即可．

解答 解：（1）当k=-1时，直线为y=-x+6，可知，A（6，0），B（0，6），
①t=1时，OP=2，得C（2，4）；AQ=2，得Q（4，0）．
②由题意得，P（2t，0），C（2t，-2t+6），Q（6-2t，0），
分两种情况讨论：情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°，
∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴点P与点Q重合，OQ=OP，即6-2t=2t，
∴t=1.5．
情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=6，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACO也是等腰直角三角形，
∵CP⊥OA，
∴AQ=2CP，即2t=2（-2t+6），
∴t=2，
∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．
（2）①由题意得：C（2t，-$\frac{3}{2}$t+6），
∴以C为顶点的抛物线解析式是y=（x-2t）²-$\frac{3}{2}$t+6，
由（x-2t）²-$\frac{3}{2}$t+6=-$\frac{3}{4}$x+6，
解得x₁=2t，x₂=2t-$\frac{3}{4}$，
过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB=90°
∵DE∥OA，
∴∠EDC=∠OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴$\frac{DE}{AO}$=$\frac{CD}{BA}$，
∵AO=8，AB=10，
∵AO=8，AB=10，
DE=2t-（2t-$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}$，
∴CD=$\frac{DE×BA}{AO}$=$\frac{\frac{3}{4}×10}{8}$=$\frac{15}{16}$
②∵CD=$\frac{15}{16}$，
CD边上的高=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{16}$×$\frac{24}{5}$=$\frac{9}{4}$，
∴S_△COD为定值，要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，当OC⊥AB时，OC最短，此时OC的长为$\frac{24}{5}$，∠BCO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，
又∵CP⊥OA，
∴Rt△PCO∽Rt△OAB．
∴$\frac{OP}{BO}$=$\frac{OC}{BA}$，
OP=$\frac{OC×OB}{BA}$=$\frac{\frac{24}{5}×6}{10}$=$\frac{72}{25}$，
2t=$\frac{72}{25}$，
∴t=$\frac{36}{25}$，
∴当t为$\frac{36}{25}$秒时，h的值最大．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及动点问题、相似三角形的判定和性质、二次函数的最值等知识，综合性强，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．