Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于F，交BC于E．求证：BE=2CE．

Answer 1

分析 利用辅助线，连接AE，求出CE=AE，∠BAE=90°，再根据AB=AC，∠BAC=120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BE=2AE=2CE．

解答 证明：如图，连接AE，

∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=（180°-120°）÷2=30°，
∵AC的垂直平分线EF交AC于点F，交BC于点E，
∴CE=AE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠EAC=∠C=30°（等边对等角），
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=120°-30°=90°，
在Rt△ABE中，∠B=30°，
∴BE=2AE（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴BE=2CE（等量代换）．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟记垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等．