Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点A，抛物线的顶点为B，直线经过A，B两点，且．

（1）求抛物线的解析式

（2）点P在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，其横坐标为，连接OP，交对称轴于点C，过点C作轴，交直线于点，连接，设线段的长为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

（3）在（2）的条件下，点在线段上，连接，交于点F，点G是BE的中点，过点G作轴，交的延长线于点，当且时，求点的坐标；

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为；（2），自变量的取值范围是；（3），点的坐标为

【解析】

（1）过点B作BC⊥OA垂足为C．令y=0可求得点A的坐标，由抛物线的对称性可得到AC=3，然后依据锐角三角形函数的定义可得到BC的长，从而得到点B的坐标；将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得a、b的值，于是可求得抛物线的解析式；

（2）先求得直线AB的解析式，设P的坐标为（t，-t2+6t），可求得直线OP的解析式为y=（-t+6）x，接下来，求得点C的纵坐标，从而得到D点的纵坐标为-3t+18．接下来将点D点的纵坐标代入直线AB的解析式可求得点D的横坐标，然后根据P点和D点的横坐标相同，可至PD的长等于P、D两点的纵坐标之差；

（3）延长PQ交y轴于点H，过点P作PM∥x轴．先证明∠PMH=∠PMO，于是可证明△PHM≌△POM，由全等三角形的性质可得到HM=OM，设P（a，-a2+6a），则H（0，-2a2+12a）．接下来，求得PH的解析式（用含a的式子表示）；于是可求得点E的纵坐标为，由中点坐标公式可求得F的坐标（用含a的式子表示），将F的坐标代入直线AB的解析式可求得a的值，于是可求得点P的坐标、PH的解析式、点E的坐标，然后依据中点坐标公式可求得点G的坐标，从而得到点Q的纵坐标，然后将点Q的纵坐标代入PH的解析式可求得点Q的横坐标，于是可求得点Q的坐标，最后将点Q的坐标代入抛物线的解析式即可作出判断．

（1）如图1所示，过点B作，

令则，

，

，

，

因为抛物线经过点，且B为顶点，

所以，

，

，

，

，解得，

所以抛物线解析式为．

(2)如图2所示，

设直线AB解析式为，

则，

解得，

所以直线解析式为，

设点P的坐标为，OP的解析式为，

，

将代入解析式得，

，

轴，的纵坐标为，

将代入直线AB的解析式得：，

，

，

轴，，

自变量的取值范围是．

如图3所示：延长交轴于点，过点P作轴，

轴，

，

，

，

轴，

，

，

，

，

设，则，

设PH的解析式为，

将点P的坐标代入得：，

解得，

所以直线PH的解析式为，

将代入得解析式为，

所以点E的纵坐标为，

，

，

，

将代入AB的解析式得：，

，

整理得：，

解得或(舍去)

当时，，

，

，

所以直线PH的解析式为，

将代入得：，

，

，

轴，所以的纵坐标为8，

将代入，得，

解得，

所以点的坐标为．