Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B(3，0)，C(0，3)，点M是抛物线的顶点．

（1）求二次函数的关系式；

（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD＝m，△PCD的面积为S，

①求S与m的函数关系式，写出自变量m的取值范围．

②当S取得最值时，求点P的坐标；

（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①S＝﹣m2+3m，1≤m≤3；②P(，3)；（3）存在，点P的坐标为(，3)或(﹣3+3，12﹣6)．

【解析】

（1）将点B，C的坐标代入 即可；

（2）①求出顶点坐标，直线MB的解析式，由PD⊥x轴且 知P（m，﹣2m+6），即可用含m的代数式表示出S；

②在①的情况下，将S与m的关系式化为顶点式，由二次函数的图象及性质即可写出点P的坐标；

（3）分情况讨论，如图2﹣1，当 时，推出 ，则点P纵坐标为3，即可写出点P坐标；如图2﹣2，当 时，证 ，由锐角三角函数可求出m的值，即可写出点P坐标；当 时，不存在点P．

（1）将点B（3，0），C（0，3）代入 ，

得 ，

解得 ，

∴二次函数的解析式为 ；

（2）①∵ ，

∴顶点M（1，4），

设直线BM的解析式为 ，

将点B（3，0），M（1，4）代入，

得 ，

解得 ，

∴直线BM的解析式为 ，

∵PD⊥x轴且 ，

∴P（m，﹣2m+6），

∴，

即 ，

∵点P在线段BM上，且B（3，0），M（1，4），

∴ ；

②∵，

∵ ，

∴当 时，S取最大值 ，

∴P（ ，3）；

（3）存在，理由如下：

①如图2﹣1，当 时，

∵ ，

∴四边形CODP为矩形，

∴ ，

将 代入直线 ，

得，

∴P（ ，3）；

②如图2﹣2，当∠PCD＝90°时，

∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴，

∴ ，

∴ ，

解得 （舍去）， ，

∴P（，），

③当 时，

∵PD⊥x轴，

∴不存在，

综上所述，点P的坐标为（ ，3）或（，）．